Das mathematische Verfahren: Vom Problem zum Modell

Grob gesprochen funktioniert der Ablauf eines mathematischen Verfahrens so, dass ausgehend von einem praktischen Problem zunächst ein mathematisches Modell erstellt wird. Dieses wird anschließend gelöst, wobei die gefundene Lösung ein Lösungsvorschlag für das reale Ausgangsproblem ist. Die Lösung muss abschließend noch interpretiert und in der Praxis evaluiert werden.

Es gibt eine Vielzahl von mathematischen Modellen und darauf aufbauenden Lösungsverfahren. Ein Bestandteil aus dem Baukasten derartiger Modelle sind mathematische Optimierungsmodelle. Dabei geht es darum ein Optimierungsproblem zu lösen, d.h. etwas (eine Zielfunktion) soll maximiert oder minimiert werden.

Praktische Anwendungsbereiche

Mathematische Optimierung findet in vielen Bereichen Anwendungen. Sie kann nämlich bei der Entscheidungsfindung oder auch zur Planung von Ressourcen eingesetzt werden. Wie der Name bereits vermuten lässt, geht es darum, das Optimum eines vorher definierten Modells zu finden. Ausgehend von einer realen Entscheidungssituation – zum Beispiel: Wie viele Projekte sollten wir umsetzen, um unseren Gewinn zu maximieren? Lieber wenige schwer umsetzbare Projekte mit hohem Gewinn oder eher viele einfache Projekte mit einem etwas geringeren Gewinn? Oder eine Mischung aus beiden? Und wenn ja, in was für einer Kombination? –  werden Handlungsalternativen identifiziert und entscheidungsrelevante Daten (in diesem Beispiel: Wie hoch sind die Kosten für die Umsetzung eines einfachen oder schweren Projekts? Durch welche Faktoren werden entstehende Kosten beeinflusst?) ermittelt.

In der Regel besteht ein Optimierungsmodell aus einer Zielfunktionsvariable (die Variable die maximiert oder minimiert werden soll), Entscheidungsvariablen (die Variablen von denen die Zielfunktionsvariable abhängt) und Restriktionen, oder auch Nebenbedingungen genannt (einschränkende Bedingungen an die Entscheidungsvariablen).  Am Beispiel der Projektplanung lässt sich das Prinzip eines solchen Modells gut veranschaulichen.

Mathematische Optimierung in der Projektplanung

Angenommen ein Unternehmen bietet zwei verschiedene Dienstleistungen an. Beim Verkauf einer Dienstleistung entsteht ein positiver Gewinn für das Unternehmen, nämlich 100 für Dienstleistung A und 70 für Dienstleistung B (in 10.000€). Zur Erbringung der Dienstleistung werden aber auch Ressourcen benötigt. Diese könnten zum Beispiel benötigte Arbeitstage oder auch Rohstoffe sein. In unserem Beispiel werden für Dienstleistung A insgesamt 2 Arbeitstage und 1 Einheit eines Rohstoffes benötigt. Für Dienstleistung B wird nur 1 Arbeitstag und sowohl eine Einheit des Rohstoffes 1 als auch 2 Einheiten eines anderen Rohstoffes verwendet. In tabellarischer Form lässt sich dies noch einmal deutlicher darstellen:

 

Dienstleistung ADienstleistung BVorhandene Kapazitäten
Gewinn

100

70

Benötigte Arbeitstage

2

1

45

Rohstoff 1

1

1

40

Rohstoff 2

0

2

60

 

Die Restriktionen sind durch die vorhandenen Kapazitäten bestimmt. Dies bedeutet, dass insgesamt höchstens 45 Arbeitstage, 40 Einheiten von Rohstoff 1 und 60 Einheiten von Rohstoff 2 zur Verfügung stehen. Wie diese allerdings aufgeteilt werden und wie viele Dienstleistungen von welcher Art erbracht werden sollten um den maximalen Gewinn zu erzielen, bleibt einem Optimierungsverfahren überlassen. Zunächst einmal lässt sich mithilfe der Daten das mathematische Modell aufstellen:

©Avispador

Die Funktion z ist also die Zielfunktionsvariable. Sie beschreibt den Gewinn, der bei der Umsetzung von x-mal Dienstleistung A und y-mal Dienstleistung B entsteht. Graphisch gesehen entspricht jede der Nebenbedingungen einer Halbebene im zweidimensionalen Raum, also einem Bereich von Punkten für den die jeweilige Bedingung erfüllt ist. Insgesamt ergeben sich somit drei Halbräume und als zulässige Lösung für das Problem kommen nur diejenigen Punkte in Frage die in allen drei Bereichen, also im Schnitt, enthalten sind. Die folgende Grafik veranschaulicht die Menge der zulässigen Lösungen:

©copyright Avispador

Der orangene Bereich kennzeichnet die Menge der zulässigen Lösungen für das Problem.

Das vorgestellte Problem ist ein lineares Programm, da die Zielfunktion eine lineare Funktion im zweidimensionalen Raum ist. Zur Lösung von linearen Programmen bietet sich das sogenannte Simplexverfahren an. Es ist für Minimierungsprobleme konzipiert. Obwohl hier ein Maximierungsproblem vorliegt, ist dies aber keine Einschränkung, denn Minimierungs- und Maximierungsprobleme sind durch die Beziehung

max⁡ z=-min⁡-z

äquivalent. Um das Vorgehen des Simplexverfahrens näher zu erläutern, ist zu beachten, dass die Menge der zulässigen Lösungen einen Polyeder beschreibt. Die Idee beim Simplexverfahren ist es nun, in einer Ecke dieses Polyeders zu starten und entlang einer absteigenden Kante (also einer Kante entlang derer das Zielfunktional kleiner wird) bis zur nächsten Ecke zu laufen. Dieses Vorgehen wiederholt man solange, bis es keine absteigende Kante mehr gibt. Der Algorithmus bricht dann entweder ab, weil eine Optimallösung gefunden wurde, oder aber, weil der Optimalwert Unendlich groß ist. Das bedeutet, dass z beliebig groß werden kann, ohne dass die Nebenbedingungen verletzt werden. Wendet man das Simplexverfahren allerdings auf obiges Beispiel an, so liefert es eine Optimallösung. Nämlich

x=7,5; y=30; z=2850

Um den Gewinn zu maximieren und trotzdem die Restriktionen einzuhalten, sollte das Unternehmen also 7,5-mal Dienstleistung A und 30-mal Dienstleistung B erbringen. Dabei würde ein Gewinn von 2.850.000€ entstehen. Letztendlich muss die gefundene Lösung noch auf Umsetzbarkeit geprüft werden. Hier fällt auf, dass sich eine halbe Dienstleistung nur schlecht umsetzen lässt. Dementsprechend wäre es am sinnvollsten die Dienstleistung A nur 27-mal zu erbringen.

Fazit: Optimierungsverfahren sind für Unternehmen unverzichtbar

Natürlich ist das vorgestellte Beispiel stark vereinfacht, um das Prinzip zu erläutern. In der Realität gibt es meist viel mehr Faktoren, durch die die Zielfunktion beeinflusst wird und auch viel mehr Nebenbedingungen. So entsteht ein großes System, welches sich aber genauso gut mithilfe von Optimierungsverfahren behandeln lässt. Unter Umständen kann es auch vorkommen, dass die Zielfunktion nichtlinear ist. Für diesen Fall gibt es jedoch auch passende Optimierungsverfahren.

Insgesamt sollte nun deutlich geworden sein, dass Optimierungsverfahren einen Mehrwert für Unternehmen in der Planung und Strukturierung von Prozessen liefern können, da sie (oftmals) einen optimalen Lösungsvorschlag für vorhandene Probleme liefern. Neben der Gewinnmaximierung wäre es zum Beispiel auch denkbar, den Einsatz von Maschinen optimal zu planen. Durch das Einbinden von Restriktionen ist es außerdem möglich, beliebige Einschränkungen an vorhandene Ressourcen vorzunehmen. Somit lassen sich viele reale Probleme in einem mathematischen Modell formulieren. Außerdem sind viele Optimierungsverfahren, wie das Simplexverfahren, bereits in frei verfügbaren Bibliotheken implementiert, was dem Anwender einen einfachen Zugang ermöglicht. Auf jeden Fall sollten Optimierungsverfahren bei der Planung in Unternehmensfragen somit in Betracht gezogen werden.

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Mabelle Franke
Themen die sich mit Datenanalyse und Computerverfahren aller Art beschäftigen, sind Mabelle's Steckenpferd. Fundierte Kenntnisse in diesem Bereich gewinnt Mabelle überwiegend im Studium der Mathematik. Den Bachelorabschluss hat sie seit Mitte 2015 in der Tasche und arbeitet nun am Masterabschluss.