Wie sich bereits im einführenden Artikel zur Preisoptimierung herausgestellt hat, sind Verfahren zur optimalen Preisgestaltung heutzutage fast unverzichtbar.

Das Ziel: Der Kunde soll kaufen –und zwar zum bestmöglichen Preis. Den richtigen Preis zu finden, reicht aber lange nicht mehr aus. Vielmehr muss sichergestellt werden, dass die Preise dynamisch sind um mit dem aktuellen Marktszenario Schritt zu halten. Der erste Schritt zur Preisoptimierung ist also der Einsatz von dynamischen Preisoptimierungsverfahren. Und wie diese funktionieren, soll sich im Folgenden herausstellen.
Um einen Eindruck darüber zu erhalten, wie Preis und Kaufverhalten zusammenhängen, wird an dieser Stelle auf ein möglichst „einfaches“ mathematischen Modell eingegangen. Um das Modell einfach zu halten, müssen allerdings starke Annahmen getroffen werden. (Natürlich gibt es auch weitaus komplexere Modelle die auf solche Annahmen verzichten können.) Wir gehen also zunächst von einer Monopol-Situation aus. Außerdem seien zeit-datierte Waren gegeben, also solche die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt, sagen wir T , verkauft sein müssen. Vor dem Zeitpunkt T gibt es keine Liefermöglichkeit. Eine solche Situation tritt zum Beispiel in der Lebensmittelindustrie oder bei Marketingprodukten auf, nämlich dann, wenn die Produkte mit einem speziellen Event assoziiert sind. Des Weiteren sei die Anzahl potentieller Kunden nicht limitiert und der Kunde kaufe sobald der Preis f¨ur das Produkt seine maximale Preisvorstellung erreicht oder unterschreitet.

Ziel ist es nun, eine Strategie zu finden um den maximal erwarteten Ertrag bis zum Zeitpunkt T zu erreichen, unter der Annahme, dass der Prozess zum Zeitpunkt 0 beginnt. Die Strategie besteht darin, eine (mathematische) Menge von Preisen für die Produkte auszuwählen, die von der Anzahl an noch nicht verkauften Produkten, der Nachfrage und in manchen Fällen auch von der Zeit abhängt. Der Preis sei zu jedem Zeitpunkt T eine nicht-fallende Funktion der Bestände. Für ein gegebenes Bestandslevel, sinken die Preise mit der Zeit. Tatsächlich existieren viele reale Situationen die solche Annahmen treffen müssen. Dazu zählt unter anderem der Verkauf von Flugzeugtickets, da der Preis sinkt desto näher der Abflug rückt.

Sei nun also s0 der Anfangsbestand eines Produkts. s0 ist gleichzeitig auch die maximale Anzahl an Produkten die verkauft werden können. Wir nehmen an, dass die Nachfrage regelmäßig zu den Zeitpunkten 1, 2, . . . , T aufkommt und xt sei gerade diese Nachfrage zum Zeitpunkt t. Der Preis eines Produkts zum Zeitpunkt t sei pt und dieser Preis ist eine Funktion die von der Nachfrage und der Zeit abhängt: pt = p(xt, t). Die Nachfrage xt zum Zeitpunkt t hängt natürlich vom Preis zum Zeitpunkt t ab und auch vom Zeitpunkt t selbst: xt = x(pt, t). Außerdem sei x(p, t) stetig differenzierbar in Bezug auf p, sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt und gehe gegen 0 wenn p gegen seinen Maximalwert geht.

 

wobei pmin der minimale Wert von pt ist. Dem aufmerksamen Leser ist wahrscheinlich schon aufgefallen, dass dieses Modell ein Optimierungsproblem ist. (1) besagt, dass die gesamten Einnahmen maximiert werden sollen. Nebenbedingung (2) besagt, dass die Summe der verkauften Produkte den Anfangsbestand nicht übersteigen darf. Laut Nebenbedingung (3) kann außerdem keine negative Menge an Produkten verkauften werden und Nebenbedingung (4) stellt die obere Schranke für die Nachfrage zu jeder Zeit sicher. Da die Funktionen p(x, t) und x(p, t) unter Umständen nichtlinear sind, ist dieses Modell ein nichtlineares Optimierungsproblem. Das bedeutet aber auch, dass zur Lösung des Problems größere Geschütze aufgefahren müssen als bei der linearen Optimierung.

Eine Möglichkeit zur Lösung des (nichtlinearen) Problems, ist der Ansatz von Kuhn und Tucker. Dieser basiert auf sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. Berücksichtigt man die Nebenbedingungen, so ergibt sich die Lagrange-Funktion

 

Das resultierende Gleichungssystem ist für großes T  ebenfalls sehr groß. Um es zu lösen, müssen entsprechende  numerische  Verfahren  zur  Lösung  von  (nichtlinearen)  Gleichungssystemen  eingesetzt werden. Ergibt sich dadurch eine Lösung des Gleichungssystems, so ist diese als Lösung für das Optimierungsproblem zulässig, wenn λ ≥ 0,  µt ≥ 0,  ηt ≥ 0 und die Ungleichungen (2) bis (4) erfüllt sind.

Auf  diese Weise  ergeben  sich Optimalpreise für jeden Zeitpunkt  t ∈ {1, 2, . . . , T },  die dynamisch gestaltet  wurden  und  die  Nachfrage  des  Kunden  berücksichtigen.  Weitaus  komplexere  Modelle finden in der Praxis Anwendung und sie sind sogar in der Lage, einige der obigen Annahmen fallen zu lassen. Dadurch, dass auch weitere Parameter, wie zum Beispiel Wettbewerber im Markt, berücksichtigt werden können, sind diese Modelle realitätsgetreuer  und exakter. Am eben vorgestellten  einfachen  Modell  lässt  sich  aber  sehr  gut  das  Prinzip  der  dynamischen Preisoptimierung veranschaulichen.  Im  Endeffekt  wird  der  Preis  p nämlich  immer  durch  bestimmte  Faktoren  beeinflusst. Hier waren diese Faktoren die Nachfrage xt und der Zeitpunkt t selbst. Bei anderen Modellen  kommen  noch  weitere  Parameter  dazu.  Mithilfe  der  Preisfunktion  lässt  sich  dann  ein Optimierungsproblem formulieren. Dieses zu lösen ist auf unterschiedliche Art und Weise möglich und am Ende erhält man eine Menge von optimalen Preisen für alle Zeitpunkte.

Die Preisoptimierung – der Kunde soll kaufen!

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Mabelle Franke
Themen die sich mit Datenanalyse und Computerverfahren aller Art beschäftigen, sind Mabelle's Steckenpferd. Fundierte Kenntnisse in diesem Bereich gewinnt Mabelle überwiegend im Studium der Mathematik. Den Bachelorabschluss hat sie seit Mitte 2015 in der Tasche und arbeitet nun am Masterabschluss.